Question

1．已知過x軸上一點(diǎn)E（x₀，0）（0＜x₀＜$\sqrt{2}$）的直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于M、N兩點(diǎn)，若$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$為定值，則x₀的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線MN的參數(shù)方程，可得M，N的坐標(biāo)，把直線MN的方程代入橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，可得$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$，由于$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$為定值，因此4-6x₀²=0，解出即可．

解答 解：設(shè)直線MN的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$．
M（x₀+t₁cosα，t₁sinα），N（x₀+t₂cosα，t₂sinα）．．
把直線MN的方程代入橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
化為（1+sin²α）t²+2x₀tcosα+x₀²-2=0．
∴t₁+t₂=$\frac{2{x}_{0}cosα}{1+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2}{1+si{n}^{2}α}$．
∴t₁²+t₂²=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{x}_{0}）si{n}^{2}α}{（1+si{n}^{2}α）^{2}}$
∴$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+4+（4-6{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$．
∵$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$為定值，
∴4-6x₀²=0，又x₀＞0．
解得x₀=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓相交定值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的參數(shù)方程及其參數(shù)的意義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．