Question

6．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$=3cosC，則$\frac{sin（A-B）}{sinC}$的值等于3．

Answer 1

分析 先利用余弦定理推導(dǎo)出a²=b²+3c²，再由正弦定理推導(dǎo)出$\frac{sin（A-B）}{sinC}$═$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$=3cosC，
∴$\frac{{a}^{2}+2^{2}}{ab}=3×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
整理，得a²=b²+3c²，
∴$\frac{sin（A-B）}{sinC}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinb}{sinc}$
=$\frac{acosB-bcosA}{c}$=$\frac{a•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}-b•\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{c}$
=$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2c}-\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}}{c}$
=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{^{2}+3{c}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$
=$\frac{3{c}^{2}}{{c}^{2}}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中兩角差的正弦值與第三個(gè)角的正弦值的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運(yùn)用．