Question

16．已知拋物線E：x²=4y，過M（1，4）作拋物線E的弦AB，使弦AB以M為中點，
（1）求弦AB所在直線的方程．
（2）若直線l：y=x+b與拋物線E相切于點P，求以點P為圓心，且與拋物線E的準線相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，求出直線的斜率，然后求解直線方程．
（2）利用函數(shù)的導數(shù)求出曲線的斜率，求出切點坐標，得到圓的圓心坐標，求出圓的半徑，即可求解圓的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線E：x²=4y，過M（1，4）作拋物線E的弦AB，使弦AB以M為中點
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}{=4y}_{1}\\{{x}_{2}}^{2}{=4y}_{2}\end{array}\right.$，兩式相減化簡得K_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以直線AB的方程為y-4=$\frac{1}{2}$（x-0），即x-2y+7=0．
（2）設(shè)切點P（x₀，y₀），
由x²=4y，得y′=$\frac{x}{2}$，所以$\frac{{x}_{0}}{2}$=1，
可得x₀=2，即點P（2，1），
圓P的半徑為2，所以圓P的方程為：（x-2）²+（y-1）²=4．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，平方差法以及設(shè)而不求方法的應用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．