Question

11．已知數(shù)列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，其中a₄=1，且a₂，a₃，a₃-2成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜16（n∈N₊）

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，求出S_n，由此能證明S_n＜16（n∈N₊）

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，其中a₄=1，且a₂，a₃，a₃-2成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=1}\\{{a}_{2}+{a}_{3}-2=2{a}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{{q}^{3}}}\\{{a}_{1}q-2={a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
∴2q²+q-1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$或q=-1，（舍），
∴${a}_{1}=\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{3}}$=8，
∴a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-4}$．
證明：（2）∵${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{8[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$16[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＜1．
∴S_n＜16（n∈N₊）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和小于16的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．