Question

11．已知函數(shù)g（x）=ax=$\frac{a}{x}$-5lnx，其中a∈R，函數(shù)h（x）=x²-mx+4，其中m∈R．
（Ⅰ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)當a=2時，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，求出a的范圍；
（2）對h（x）進行配方，討論其最值問題，根據(jù)題意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，只要要求g（x）_max≥h（x）_max，即可，從而求出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，
∴g′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得ax²-5x+a＞0在x＞0上成立，
∴a＞$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$，
∵$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{5}{2}$（x=1時等號成立），
∴a＞$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）當a=2時，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
當0＜x＜$\frac{1}{2}$，x＞2時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當$\frac{1}{2}$＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=$\frac{1}{2}$出取得極大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}+4-\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3時，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
則實數(shù)m的取值范圍是：[8-5ln2，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、通過構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題的方法，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計算能力，屬于難題．