Question

1．已知圓M：x²+（y-2）²=r²（r＞0）與曲線C：（y-2）（3x-4y+3）=0有三個不同的交點．
（1）求圓M的方程；
（2）已知點Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．
①若$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求|MQ|及直線MQ的方程；
②求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （1）因為直線3x-4y+3=0與圓M相切，圓心（0，2）到直線的距離為r，即可求圓M的方程；
（2）①|AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，求出Q的坐標，即可求出直線MQ的方程；
②求出直線AB的方程，即可證明直線AB恒過定點．

解答 解：（1）因為直線3x-4y+3=0與圓M相切，
故圓心（0，2）到直線的距離為r，即：$\frac{{|{-8+3}|}}{5}=r$，r=1．
所以圓的方程為x²+（y-2）²=1．
（2）①設直線MQ，AB交于點P，則$|{AP}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
又|AM|=1，所以$|{MP}|=\sqrt{1-{{（{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）}^2}}=\frac{1}{3}$，
而|AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，
設Q（x₀，0），而點M（0，2），由$\sqrt{{x_0}^2+{2^2}}=3$，${x_0}=±\sqrt{5}$，
則$Q（{\sqrt{5}，0}）$或$Q（{-\sqrt{5}，0}）$，
從而直線MQ的方程為：$2x+\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或$2x-\sqrt{5}y+2\sqrt{5}=0$．
②證明：設點Q（q，0），由幾何性質可以知道，A，B在以MQ為直徑的圓上，
此圓的方程為x²+y²-qx-2y=0，AB為兩圓的公共弦，
兩圓方程相減得qx-2y+3=0，
即$AB：y=\frac{q}{2}x+\frac{3}{2}$，
所以過定點$（{0，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．