Question

10．若實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，目標函數z=3x+y，若a=1，則z的最小值為2；若z的最大值為5，則實數a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 首先把a=1代入約束條件，作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數求得z的最小值；再由題意可得a＞0，作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數可得z的最大值，由此求得a值．

解答 解：若a=1，則不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，畫出可行域如圖：

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（1，-1）．
化目標函數z=3x+y為y=-3x+z，由圖可知，當直線y=-3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2；
要使約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$表示的可行域存在，且目標函數z=3x+y有最大值，則a＞0．
作出可行域如圖：

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{ax+y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{a}$，-1），
化目標函數z=3x+y為y=-3x+z，由圖可知，當直線y=-3x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{15}{a}-1=5$，得a=$\frac{5}{2}$．
故答案為：2；$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．