Question

9．如圖所示，某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），據(jù)此解答如下問題．

（1）求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的頻率；
（2）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的試卷中任取 3 份分析學(xué)生失分情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在[90，100]的份數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)望期．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖先分析出分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)，結(jié)合頻率分布直方圖中該組的頻率，可得到全班人數(shù)，再由莖葉圖求出數(shù)在[80，100]之間的頻數(shù)，即可得到分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的頻率；
（2）由（1）知，分?jǐn)?shù)在[80，100]之間有10份，分?jǐn)?shù)在[90，100]之間有0.0125×10×32=4份．由題意，X的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為4，頻率為0.0125×10=0.125，
∴全班人數(shù)為$\frac{4}{0.125}$人．
∴分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的頻數(shù)為32-4-8-10=10，
∴分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的頻率為$\frac{10}{32}$=0.3125；
（2）由（1）知，分?jǐn)?shù)在[80，100]之間有10份，分?jǐn)?shù)在[90，100]之間有0.0125×10×32=4份．
由題意，X的取值為0，1，2，3，則
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=1.2．

點評 本題考查的知識點是古典概型及其概率計算公式，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，頻率分布直方圖，莖葉圖，是統(tǒng)計和概論比較綜合的應(yīng)用，學(xué)會用圖并掌握相關(guān)的重要公式是解答的關(guān)鍵．