Question

18．已知如圖1所示的四邊形ABCD中，DA⊥AB，點E為AD中點，連接CE，AD=EC=2AB=$\sqrt{2}$BC=2；現(xiàn)將四邊形沿著CE進(jìn)行翻折，使得平面CDE⊥平面ABCE，連接DA，DB，BE得到如圖2所示的四棱錐D-ABCE．
（Ⅰ）證明：平面BDE⊥平面BDC；
（Ⅱ）已知點F為側(cè)棱DC上的點，若$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$，求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圖1中連結(jié)BE，通過已知條件易得CE⊥AD，在圖2中，通過面面垂直的性質(zhì)定理、判定定理及線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）以E為原點建立空間坐標(biāo)系，則所求二面角即為平面EBF的一個法向量與平面BDE的一個法向量的夾角，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，在圖1中連結(jié)BE，
∵AB=AE=1，DA⊥AB，∴BE=$\sqrt{2}$，
又∵BC=$\sqrt{2}$，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，即CE⊥AD，
在圖2中，∵平面CDE⊥平面ABCE，平面CDE∩平面ABCE=CE，
∴CE⊥DE，∴DE⊥平面ABCE，
∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC，
又BE⊥BC，且DE∩BE=E，
∴BC⊥平面BDE，
又BC?平面BDC，∴平面BDE⊥平面BDC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CE⊥DE，DE⊥AE，AE⊥CE，
故以E為原點建立空間坐標(biāo)系如圖，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，1），
∴$\overrightarrow{DC}$=（0，-2，-1），∴$\overrightarrow{EB}$=（1，1，0），
又$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$，∴F（0，$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
設(shè)平面EBF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+4z=0}\end{array}\right.$，
令x=-2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，2，-1），
由（Ⅰ）知$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）為平面BDE的一個法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵二面角F-BE-D成銳角，
∴所求二面角F-BE-D的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查空間線面位置關(guān)系的判斷及求二面角，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及推理論證能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．