Question

12．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，AC⊥BC．
（1）求點(diǎn)B到平面PAC的距離；
（2）求異面直線PA與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂直為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)B到平面PAC的距離．
（2）求出$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0），利用向量法能求出異面直線PA與BC所成角的余弦值．

解答 解：（1）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂直為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
過P作平面ABC的垂線PD，交AB于D，由題意D是AB中點(diǎn)，
A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{3}$，-1），
∴點(diǎn)B到平面PAC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
（2）$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0），
設(shè)異面直線PA與BC所成角為θ，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\frac{1}{2}|}{\sqrt{4}•1}$=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線PA與BC所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．