Question

19．函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的最大值是$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)y=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
故當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，輔助角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．