Question

5．已知空間四邊形ABCD的四條邊和對角線都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 根據二面角的定義先作出二面角的平面角，結合余弦定理即可得到結論．

解答 解：取CD的中點O，連接AO，BO，
∵四邊形ABCD的四條邊和對角線都相等，
∴AO⊥CD，BO⊥CD，
即CD⊥平面ABO，
即∠AOB是平面ACD和平面BCD所成二面角的平面角，
設四邊形的邊長為2，
則OC=1，即B0=A0=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cos∠AOB=$\frac{A{O}^{2}+B{O}^{2}-A{B}^{2}}{2AO•BO}$=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}•\sqrt{3}}=\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
即∠AOB=arccos$\frac{1}{3}$，
即二面角的大小為arccos$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查二面角的求解，根據二面角的定義先作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．