Question

13．如圖，游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中圓心O距離地面40.5米，半徑40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題．
（1）求出你與地面的距離y與時間t的函數關系式．
（2）當你第四次距離地面只有60.5米時用了多少時間？
（3）當你登上摩天輪兩分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，問你的朋友登上摩天輪多少時間后，你和你的朋友與地面的距離之差最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）依據題意可知應建立余弦型函數模型解題，由摩天輪的轉動周期為12分鐘，振幅為40，可以求得函數解析式；
（2）令40.5-40cos$\frac{π}{6}$t=60.5，從而得到$\frac{π}{6}$t=2kπ+$\frac{2}{3}π$或2kπ+$\frac{4}{3}π$，k∈N，則$\frac{π}{6}$t=2π+$\frac{4}{3}π$，解得t=20（分鐘）；
（3）建立坐標系，設你到達點P，你朋友到達點Q，只有PQ⊥地面時，你和你的朋友與地面的距離之差最大，容易求出t=2（分鐘），最大距離為PQ=40（米）．

解答 解：（1）由已知可設y=40.5-40cosωt，t≥0由周期為12分鐘可知，
當t=6時，摩天輪第一次到達最高點，即函數第一次取得最大值，所以6ω=π，即ω=$\frac{π}{6}$，
所以y=40.5-40cos$\frac{π}{6}$t，t≥0
（2）令40.5-40cos$\frac{π}{6}$t=60.5，則cos$\frac{π}{6}$t=$\frac{1}{2}$，則$\frac{π}{6}$t=2kπ+$\frac{2}{3}π$或2kπ+$\frac{4}{3}π$，k∈N
故當你第四次距離地面60.5米時，k=1，即$\frac{π}{6}$t=2π+$\frac{4}{3}π$，解得t=20（分鐘）
（3）建立如圖坐標系，設你到達點P，你朋友到達點Q，只有PQ⊥地面時，你和你的朋友與地面的距離之差最大，
如圖容易知道朋友轉了$\frac{π}{3}$時符合要求，$\frac{π}{6}$t=$\frac{π}{3}$，即t=2（分鐘），
最大距離為：PQ=r=40（米）
故答案為：（1）y=40.5-40cos$\frac{π}{6}$t，t≥0
         （2）20分鐘
         （3）2分鐘后，最大值為40米．

點評 本題考查了三角函數的圖象和性質，涉及實際應用，屬于中檔題．