Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3-a，x∈[-2，2]的最小值是g（a）．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使g（a）=5，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方得f（x）=x²+2ax+3-a=（x+a）²+3-a-a²，再分類討論研究函數(shù)的最小值；
（2）由（1）的分段函數(shù)，分類討論求解方程g（a）=5，可得答案．

解答 解：（1）由題意，f（x）=x²+2ax+3-a=（x+a）²+3-a-a²，
當(dāng)-a≤-2，即a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，
最小值g（a）=f（-2）=2+2a+3=-5a+7．
當(dāng)-2＜-a＜2，即-2＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，-a]上為減函數(shù)，在[-a，2]上為增函數(shù)，
最小值g（a）=f（-a）=3-a-a²，
當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，
最小值g（a）=f（2）=2-2a+3=3a+7
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}3a+7，a≤-2\\-{a}^{2}-a+3，-2＜x＜2\\-5a+7，a≥2\end{array}\right.$
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，解g（a）=3a+7=5得：a=-$\frac{2}{3}$（舍去），
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，方程3-a-a²=5無解，
當(dāng)a≥2時(shí)，解g（a）=-5a+7=5得：a=$\frac{2}{5}$（舍去），
綜上，不存在實(shí)數(shù)a，使g（a）=5．

點(diǎn)評(píng) 本題以二次函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)的最小值，關(guān)鍵是利用配方法，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚?/p>