Question

17．函數(shù)y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$的值域為[$\frac{4}{3}，6$]．

Answer 1

分析 把原函數(shù)解析式變形，得到$cosx=\frac{2y-5}{y+1}$，借助于三角函數(shù)的有界性求解分式不等式組得答案．

解答 解：由y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$，得2y-ycosx=cosx+5，即（y+1）cosx=2y-5，
∴$cosx=\frac{2y-5}{y+1}$，
由-1≤cosx≤1，得$-1≤\frac{2y-5}{y+1}≤1$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2y-5}{y+1}≥-1①}\\{\frac{2y-5}{y+1}≤1②}\end{array}\right.$，
解①得：y＜-1或y$≥\frac{4}{3}$；
解②得：-1＜y≤6．
∴函數(shù)y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$的值域為[$\frac{4}{3}，6$]．
故答案為：[$\frac{4}{3}，6$]．

點評 本題考查函數(shù)值域的求法，訓練了利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)的值域，是基礎題．