Question

10．（1）已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，則x+y的最小值為16
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$ ）=10+$\frac{9x}{y}$+$\frac{y}{x}$，下面由基本不等式可得，注意等號(hào)成立的條件即可；
（2）利用題設(shè)中的等式，把y的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成（$\frac{a+b}{2}$）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）展開(kāi)后，利用基本不等式求得y的最小值．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）
=10+$\frac{9x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥10+2 $\sqrt{\frac{9x}{y}•\frac{y}{x}}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{9x}{y}$=$\frac{y}{x}$即x=4且y=12時(shí)取等號(hào)，
∴x+y的最小值為16，
故答案為：16．
（2）∵a+b=2，∴$\frac{a+b}{2}$=1，
∴y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$
=（$\frac{a+b}{2}$）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）
=$\frac{5}{2}$+$\frac{2a}$+$\frac{2a}$
≥$\frac{5}{2}$+2
=$\frac{9}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立），
則y=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值是$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．