Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)（從左至右），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點(diǎn)．

（1）若橢圓的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的離心率．

Answer 1

（1）由題意，，解得，所以橢圓的方程為．

（2）方法一：設(shè)，則，．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image206.gif'>三點(diǎn)共線，所以，

由，

得，即．

又均在橢圓上，

有，  

①—②，得，

所以直線的斜率，

由于以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，

所以，即，所以，

所以橢圓的離心率．

方法二：設(shè)，則，

所以直線的方程為．

由，消，得，

即，

所以，

從而，即，

所以直線的斜率，

由于以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，

所以，即，所以，

所以橢圓的離心率．