Question

13．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$π）．
（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，橢圓的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，求|AP|•|AQ|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，將A的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)即可，消去參數(shù)，求出橢圓的普通方程即可；
（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，結(jié)合參數(shù)t的幾何意義求出|AP|•|AQ|的值即可．

解答 解：（1）∵A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$π），
而x=ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，y=ρsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）點(diǎn)A在直線l上，將$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
化簡得14t²+2$\sqrt{2}$t-41=0，
顯然△＞0，設(shè)此方程兩根為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{41}{14}$，
由參數(shù)t的幾何意義得|AP|•|AQ|=|t₁t₂|=$\frac{41}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)的幾何意義以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．