Question

2．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（II）設直線l與曲線C相交于P，Q兩點，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；曲線C的極坐標方程轉化為ρ²=4ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標方程．
（II）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入（x-2）²+y²=4，得${t^2}-3\sqrt{3}t+5=0$，由此能求出|PQ|．

解答 解：（I）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t得直線l的普通方程：$x-\sqrt{3}y+1=0$
∵曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程：（x-2）²+y²=4…（5分）
（II）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入（x-2）²+y²=4，
得${t^2}-3\sqrt{3}t+5=0$，
設P，Q兩點的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=3\sqrt{3}$，t₁•t₂=5，
∴$|{PQ}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{7}$…（10分）

點評 本題考查直線的普通方程和曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．