Question

16．設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1）（a＞0），試判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可討論該函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：f′（x）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=e^x（ax+1）（x+2），
①0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞-2或x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜-2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$），（-2，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，-2）遞減；
②a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
③a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（-2，-$\frac{1}{a}$）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)要注意對(duì)a進(jìn)行討論，最后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．