Question

20．已知F是雙曲線$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}-\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過F作傾斜角為60°的直線l，直線l與雙曲線交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B且$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FB}$，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{5}+1$
• B． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\frac{\sqrt{7}+1}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），令x=0，可得B的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}-\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F為（-c，0），
直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
令x=0，則y=$\sqrt{3}$c，
即B（0，$\sqrt{3}$c），設(shè)A（m，n），
由$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FB}$，可得（m+c，n）=$\frac{1}{3}$（c，$\sqrt{3}$c），
即有m=-$\frac{2}{3}$c，n=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c．
即A（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{\sqrt{3}}{3}$c），
代入雙曲線方程，可得$\frac{4}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=1，
由于e=$\frac{c}{a}$（e＞1），則4e²-3•$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=9，
化簡(jiǎn)可得4e⁴-16e²+9=0，
解得e=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$（舍去）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查求曲線的離心率的問題，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．