Question

8．已知橢圓C的左右焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，經過P（1，1）的直線L與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P為弦AB的中點，求直線L的方程及弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a，由a，b，c的關系，即可得到b，進而得到橢圓方程；
（2）設弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差，并由中點坐標公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．再由橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式即可得到弦長．

解答 解：（1）由題意可得，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入橢圓方程，得
x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②；
①-②，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；
由中點坐標$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，代入上式，得
（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴直線斜率為k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
所求弦的直線方程為：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
由x+2y-3=0和橢圓方程x²+2y²=8，
可得3x²-6x-7=0，
可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{4+\frac{28}{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法和圓錐曲線中點坐標公式的運用，通過作差的方法，求得直線斜率k的應用模型，屬于中檔題．