Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和配方，化簡(jiǎn)整理，解方程即可得到k．

解答 解：（1）由題意可得，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，
解得b=$\sqrt{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（2{k}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
解得k=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．