Question

14．若函數(shù)y=f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，說明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，且當x≤0時f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先檢驗sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)可得f（x）=f（-x），結(jié)合x≤0時的函數(shù)解析式可求x≥0的函數(shù)解析式，結(jié)合m的范圍判斷函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據(jù)誘導(dǎo)公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x）．
設(shè)x≥0，則-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+m）^{2}，}&{x≤0}\\{（x-m）^{2}，}&{x＞0}\end{array}\right.$…（6分）
當m≤0時，∵y=f（x）在[0，1]遞增，
∴x=1時${y_{max}}={（1-m）^2}$
當$0＜m＜\frac{1}{2}$時，y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²＜f（1）=（1-m）²，
∴x=1時${y_{max}}={（1-m）^2}$
當$m≥\frac{1}{2}$時，
∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0時${y_{max}}={m^2}$
綜上所述：當$m＜\frac{1}{2}$時，${y_{max}}=f（1）={（1-m）^2}$；
當$m≥\frac{1}{2}$時，${y_{max}}=f（0）={m^2}$…（12分）

點評 本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，綜合考察構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題．