Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)$l：x=my+\sqrt{2}$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得到m，進(jìn)而得到直線方程和P的坐標(biāo)．

解答 解：（I）離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
F（c，0），直線l：y=x-c，
由坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離為1，
則$\frac{|c|}{{\sqrt{2}}}=1$，解得$c=\sqrt{2}$．
所以$a=2，b=c=\sqrt{2}$，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
（II）橢圓C的方程為x²+2y²=4，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知l的斜率為一定不為0，
故不妨設(shè)$l：x=my+\sqrt{2}$，
代入橢圓的方程中整理得$（{m^2}+2）{y^2}+2\sqrt{2}my-2=0$，
顯然△＞0．
由韋達(dá)定理有：${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{2}{{{m^2}+2}}$…．①
假設(shè)存在點(diǎn)P，使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，即${（{x_1}+{x_2}）^2}+2{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$．
整理得$（{x_1}^2+2{y_1}^2）+（{x_2}^2+2{y_2}^2）+2（{x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}）=4$．
又A，B在橢圓上，即${x_1}^2+2{y_1}^2=4，{x_2}^2+2{y_2}^2=4$．
故x₁x₂+2y₁y₂+2=0…②，
將${x_1}{x_2}=（m{y_1}+\sqrt{2}）（m{y_2}+\sqrt{2}）={m^2}{y_1}{y_2}+\sqrt{2}m（{y_1}+{y_2}）+2$及①代入②
解得m²=2，
所以y₁+y₂=±1，x₁+x₂=$-\frac{{2\sqrt{2}{m^2}}}{{{m^2}+2}}+2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即P（$\sqrt{2}$，±1）．
則當(dāng)$m=\sqrt{2}$時(shí)，$P（\sqrt{2}，-1），l：x=\sqrt{2}y+\sqrt{2}$；
當(dāng)$m=-\sqrt{2}$時(shí)，$P（\sqrt{2}，1），l：x=-\sqrt{2}y+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及直線方程的知識(shí)，屬于中檔題．