Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）．
（1）若m=2，求橢圓C的離心率及短軸長；
（2）如存在過點P（-1，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當m=2時，橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1，由此能求出橢圓C的離心率及短軸長．
（2）當直線的斜率存在時，由題意可設直線的方程為y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0．由此利用根的判別式、韋達定理、向量垂直，能求出m的范圍；當直線的斜率不存在時，因為以線段AB為直徑的圓恰好通過坐標原點，得到$m=\frac{4}{3}$，由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）當m=2時，橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1．
a²=4，b²=2，c²=4-2=2，
∴a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
短軸長2b=2$\sqrt{2}$．
（2）當直線的斜率存在時，由題意可設直線的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0．
∴△＞0，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{m+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4m}}{{m+4{k^2}}}$．
∵以線段AB為直徑的圓恰好過原點，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}=0$．
∴$（1+{k^2}）\frac{{4{k^2}-4m}}{{m+4{k^2}}}+{k^2}（\frac{{-8{k^2}}}{{m+4{k^2}}}）+{k^2}=0$．即${k^2}=\frac{4m}{4-3m}$．
由${k^2}=\frac{4m}{4-3m}≥0$，m＞0，所以$0＜m＜\frac{4}{3}$．
當直線的斜率不存在時，∵以線段AB為直徑的圓恰好通過坐標原點，∴A（-1，1）．
∴$\frac{1}{4}+\frac{1}{m}=1$，即$m=\frac{4}{3}$．
綜上所述，m的取值范圍是$0＜m≤\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的離心率、短軸長的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查圓錐曲線、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．