Question

5．已知函數(shù)f（x）=|3x-1|+x+$\frac{2}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（2）若實數(shù)x，y，z滿足x²+y²≤z≤m，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用零點分段法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)取最小值1；
（2）當(dāng)x+y+z取最大值時，x，y為正數(shù)，且z=1時，結(jié)合基本不等式的變形公式，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x＜$\frac{1}{3}$時，f（x）=-2x+$\frac{5}{3}$為減函數(shù)，
當(dāng)x≥$\frac{1}{3}$時，f（x）=4x-$\frac{1}{3}$為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)取最小值1，
即m=1；
（2）若實數(shù)x，y，z滿足x²+y²≤z≤1，
則當(dāng)x+y+z取最大值時，x，y為正數(shù)，且z=1時，
此時（x+y）²≤2（x²+y²）≤2，
即x+y≤$\sqrt{2}$，
則x+y+z≤$\sqrt{2}$+1，
即x+y+z的最大值為$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值及其幾何意義，基本不等式，難度中檔．