Question

4．f（x）=e^-x（x²-3x+1），若對于任意m，n∈[$\frac{1}{2}$，+∞），|f（m）-f（n）|＜a恒成立，a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{2\sqrt{e}}$，+∞）
• B． （$\frac{5}{{e}^{4}}$-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$，+∞）
• C． （$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{5}{{e}^{4}}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)f′（x）判斷f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性與最值，
再根據(jù)|f（m）-f（n）|＜a恒成立，求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=e^-x（x²-3x+1），
∴f′（x）=e^-x（-x²+5x-4）=-e^-x（x-1）（x-4），
∴當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
1＜x＜4時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
x＞4時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
又x→+∞時，f（x）→0，
∴x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）時，f（x）_min=f（1）=e^-1×（1-3+1）=-$\frac{1}{e}$，
f（x）_max=f（4）=e^-4×（16-12+1）=$\frac{5}{{e}^{4}}$，
∴對于任意m，n∈[$\frac{1}{2}$，+∞），|f（m）-f（n）|＜a恒成立，
∴a＞$\frac{5}{{e}^{4}}$-（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，
即a的取值范圍是（$\frac{5}{{e}^{4}}$+$\frac{1}{e}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）判斷函數(shù)f（x）在某一區(qū)間上的單調(diào)性與最值問題，也考查了不等式恒成立的問題，是綜合性題目．