Question

7．函數(shù)y=x-x²的值域是（-∞，$\frac{1}{4}$]；函數(shù)y=x-x²（-1≤x≤1）的值域是[-2，$\frac{1}{4}$]；函數(shù)y=$\frac{1}{x-{x}^{2}}$的值域是（-∞，0）∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 對(duì)該函數(shù)配方：$y=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，這樣便可看出該函數(shù)在R上的值域，而在-1≤x≤1上，通過(guò)配方后的解析式即可看出x=-1時(shí)，該函數(shù)取最小值，x=$\frac{1}{2}$，取最大值，從而可以寫(xiě)出該函數(shù)在[-1，1]上的值域．而對(duì)于第三個(gè)函數(shù)，x-x²在分母上，首先根據(jù)前面$x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$，從而得到x-x²的范圍：$x-{x}^{2}＜0，或0＜x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$，然后求出$\frac{1}{x-{x}^{2}}$的范圍即可．

解答 解：y=x-${x}^{2}=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?-∞，\frac{1}{4}$]；
可以看出，x=-1時(shí)，y=x-x²取最小值-2，并可以取到最大值$\frac{1}{4}$；
∴該函數(shù)在[-1，1]上的值域?yàn)椋?[-2，\frac{1}{4}]$；
∵$x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$；
∴x-x²＜0，或$0＜x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{x-{x}^{2}}＜0$，或$\frac{1}{x-{x}^{2}}≥4$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，0）∪[4，+∞）．
故答案為：$（-∞，\frac{1}{4}]$，$[-2，\frac{1}{4}]$，（-∞，0）∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念及求法，配方求二次函數(shù)值域的方法，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．