Question

18．如圖，已知△OCB中，B、C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，D是將OB分成2：1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$．
（1）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）若$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的法則結(jié)合向量的基本定理即可用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）根據(jù)向量關(guān)系的條件建立方程關(guān)系，求實(shí)數(shù)λ的值．

解答 解：（1）由題意知A是BC的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
由平行四邊形法則得$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，
則$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow$．
（2）由圖知$\overrightarrow{EC}$∥$\overrightarrow{DC}$，
∵$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-λ$\overrightarrow{a}$=（2-λ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}\overrightarrow$，
∴$\frac{2-λ}{2}=\frac{-1}{-\frac{5}{3}}$，
解得$λ=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量平行四邊形法則和向量共線的條件是解決本題的關(guān)鍵．