Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log$\frac{3}{2}$（3a_n+1）時，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$與a_n=$\frac{1}{2}$S_n-1（n≥2）作差，整理可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$，進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$，a_n=$\frac{1}{2}$S_n-1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$a_n，即a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知b_n=log$\frac{3}{2}$（3a_n+1）=log$\frac{3}{2}$（$\frac{{3}^{n+1}}{{2}^{n}}$）=n+$lo{g}_{\frac{3}{2}}3$，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3）（n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}+3）}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$，
∴T_n=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{2+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$+…+$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$
=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．