Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在x軸上的頂點分別為A，B，且以坐標原點為圓心，以橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，P為橢圓上不同于A、B的一動點．
（1）若k_AP×k_BP=-$\frac{1}{2}$，且短軸長為2，求橢圓方程？
（2）連結(jié)P與原點O交橢圓于Q，過Q作QN⊥PQ交橢圓于N，QM⊥x軸于M，求證：P、N、M三點共線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k_AP×k_BP=-$\frac{1}{2}$，且短軸長為2，建立方程關系求出a，b即可求橢圓方程．
（2）設出P．M，N，Q的坐標求出對應的斜率，利用斜率相等即可證明三點關系．

解答 解：（1）設點P（x₀，y₀），
∵b=c，∴a=$\sqrt{2}$b，
則k_AP×k_BP=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設P（x₀，y₀），N（x₁，y₁），
則Q（-x₀，-y₀），M（-x₀，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式作差得$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=-\frac{{x}_{0}-{x}_{1}}{2（{y}_{0}-{y}_{1}）}$  ①，
∵QN⊥PQ，
∴k_QN×k_PQ=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，②，
①代入②得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
即k_MN=k_PM，即P、N、M三點共線．

點評 本題主要考查橢圓方程的求解以及三點關系的證明，利用斜率之間的關系是解決本題的關鍵．