Question

17．已知方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有兩個不等的非零根，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；再令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，從而求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值，從而確定a的取值范圍．

解答 解：由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得，
a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
故f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，且f（x）＜f（1）=$\frac{1}{e}$；
在（1，+∞）上是減函數(shù)，且0＜f（x）＜$\frac{1}{e}$；
故若方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有兩個不等的非零根，
則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．