Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{12}{5}$]
• B． （0，$\frac{12}{5}$）
• C． （1，3）
• D． [1，3]

Answer 1

分析 設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，表示出圓的方程，進(jìn)而根據(jù)|MA|=2|MO|，設(shè)出M，利用等式關(guān)系整理求得M的軌跡方程，進(jìn)而判斷出點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點(diǎn)．進(jìn)而確定不等式關(guān)系求得a的范圍．

解答 解：因?yàn)閳AC的圓心在直線y=2x-4上，所以設(shè)圓心C為（a，2a-4），
則圓C的方程為：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1．
又|MA|=2|MO|，設(shè)M為（x，y），則可得：x²+（y+1）²=4，
設(shè)該方程對(duì)應(yīng)的圓為D，
所以點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點(diǎn)．
則|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a²-12a+8≥0，得a∈R．
由5a²-12a≤0得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為[0，$\frac{12}{5}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生的分析推理和基本的運(yùn)算能力．