Question

7．已知函數(shù)f（x）=x|x-1|+alnx．
（1）當a=-1時，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-1，x∈[1，e]時，f（x）=x²-x-lnx，求導數(shù)，確定單調(diào)性，即可求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）當a＞0時，分類討論求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）≥0恒成立，分類討論求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-1，x∈[1，e]時，f（x）=x²-x-lnx，
∴$f′（x）=\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$≥0，
∴f（x）在[1，e]上的最大值f（e）=e²-e-1；
（2）x≥1，f（x）=x²-x+alnx，a＞0，f′（x）=2x-1+$\frac{a}{x}$＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
0＜x＜1，f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+x+a}{x}$
a≥1，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
0＜a＜1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$，1）上單調(diào)遞減；
（3）①a≥0，x≥1，f（x）≥0恒成立
0＜x＜1，a≥1，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；
0＜a＜1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$，1）上單調(diào)遞減，不合題意；
a=0，f（x）≥0恒成立；
②a＜0，0＜x＜1，f（x）≥0恒成立
x≥1，f（x）=x²-x+alnx，a＞0，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-x+a}{x}$，
-1≤a＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意；
a＜-1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，1）上單調(diào)遞增，不合題意．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確利用導數(shù)是關鍵．