Question

20．求函數(shù)y=x²-ax+1（a為常數(shù)），-1≤x≤1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x²-ax+1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{a}{2}$，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-ax+1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{a}{2}$，
①當(dāng)$\frac{a}{2}$＜-1即a＜-2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴最小值為f（-1）=2+a，最大值為f（1）=2-a．
②當(dāng)-1≤$\frac{a}{2}$≤0即-2≤a≤0時(shí)：
f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）遞減，在（$\frac{a}{2}$，1]遞增，
∴最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，最大值為f（1）=2-a．
③當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜1即0＜a＜2時(shí)：
f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）遞減，在（$\frac{a}{2}$，1]遞增，
∴最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，最大值為f（-1）=2+a．
④當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1即a≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴最大值為f（-1）=2+a，最小值為f（1）=2-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．