Question

5．銳角α，β滿足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 由已知式子變形可得$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，進而可得可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵銳角α，β滿足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，
∵sinβ=sinαcos（α+β），
∴sin[（α+β）-α]=sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=2$\frac{sinα}{cosα}$，即tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，
變形可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
當且僅當$\frac{1}{tanα}$=tanα即tanα=1即α=$\frac{π}{4}$時取等號，
∴tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$

點評 本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．