Question

17．若直線l：y=kx-2k+4與曲線C：y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 先將曲線進(jìn)行化簡(jiǎn)得到一個(gè)圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x-2）+4表示過(guò)定點(diǎn)（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：因?yàn)閥=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，所以x²+（y-1）²=4，
此時(shí)表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．
因?yàn)閤∈[-2，2]，y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$≥1，
所以表示為圓的上部分．
直線y=k（x-2）+4表示過(guò)定點(diǎn)P（2，4）的直線，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$．
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，1）時(shí)，直線PB的斜率為k=$\frac{1-4}{-2-2}$=$\frac{3}{4}$．
所以要使直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則必有$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)要注意曲線化簡(jiǎn)之后是個(gè)半圓，而不是整圓，這點(diǎn)要注意，防止出錯(cuò)．