Question

16．已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）若不等式的解集為集合{x|2＜x＜3}的子集，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=kx²-2x+6k，原問題等價于原問題等價于△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，由此求出k的取值范圍

解答 解∵不等式對應(yīng)的方程kx²-2x+6k=0的判別式為
△=4-24k²，
設(shè)f（x）=kx²-2x+6k，
則原問題等價于△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$；
由△≤0，即4-24k²≤0，
解得k≤-$\frac{\sqrt{6}}{6}$或k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
又∵k＞0，∴k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≥0}\\{f（3）≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{10k-4≥0}\\{15k-6≥0}\\{2≤\frac{1}{k}≤3}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{5}$≤k≤$\frac{1}{2}$；
綜上，符合條件的k的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，+∞）．

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，解題時應(yīng)對字母系數(shù)進行分析、討論，是中檔題．