Question

10．若關于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4個實數(shù)根可以組成首項為$\frac{1}{4}$的等差數(shù)列，求|a-b|的值．

Answer 1

分析 根據(jù)韋達定理和題意可得a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₁+a₄=a₂+a₃=1，由題意求得a₄和d以及a₂、a₃的值，代入|a-b|=|a₁a₄-a₂a₃|求值．

解答 解：依題意設四根分別為a₁、a₂、a₃、a₄，公差為d，其中a₁=$\frac{1}{4}$，
因為a₁、a₂、a₃、a₄是方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4個實數(shù)根，
所以a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2，
由等差數(shù)列的性質(zhì)得：a₁+a₄=a₂+a₃，所以a₁+a₄=a₂+a₃=1，
不妨設$\frac{1}{4}$、a₄是方程x²-x+a=0的兩個實數(shù)根，a₂、a₃是x²-x+b=0的兩個實數(shù)根，
所以a₄=$\frac{3}{4}$，則公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{1}{6}$，
則a₂=$\frac{5}{12}$，a₃=$\frac{7}{12}$，
所以|a-b|=|a₁a₄-a₂a₃|=|$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}-\frac{5}{12}×\frac{7}{12}$|=$\frac{1}{18}$．

點評 本題考查了韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)的關系），及等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式，其中根據(jù)韋達定理和等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式，求出方程的四個根是解答本題的關鍵，考查分析問題、解決問題的能力．