Question

20．曲線x²-3y²=0與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的四個(gè)交點(diǎn)與C的兩個(gè)虛軸頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正六邊形，則雙曲線的離心率是？

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)曲線x²-3y²=0即為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再將直線方程代入雙曲線方程，可得第一、四象限的交點(diǎn)，求出它們的距離，由條件可得它們?yōu)閎，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：曲線x²-3y²=0即為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
將y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x代入雙曲線方程可得，
交點(diǎn)A為（$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3^{2}-{a}^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{3^{2}-{a}^{2}}}$），
將y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x代入雙曲線方程可得，
交點(diǎn)B為（$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3^{2}-{a}^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{3^{2}-{a}^{2}}}$），
則|AB|=2•$\frac{ab}{\sqrt{3^{2}-{a}^{2}}}$，
由題意可得b=|AB|，
即為5a²=3b²=3（c²-a²），
即有3c²=8a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．