Question

14．各項均為正奇數(shù)的數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄中，前三項依次成公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，后三項依次成公比為q的等比數(shù)列，若a₄-a₁=100，則q的值為$\frac{11}{7}$．

Answer 1

分析 先設(shè)數(shù)列的前三項，再由a₄-a₁=100得到第四項，利用后三項依次成公比為q的等比數(shù)列建立等式，從而可得公差的范圍及取值，由此可求得q的值．

解答 解：設(shè)正奇數(shù)的數(shù)列前四項依次為a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+100，其中a₁為正奇數(shù)，d為正偶數(shù)，則
∵后三項依次成公比為q的等比數(shù)列，
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+100）$，
整理得${a}_{1}=\frac{4d（25-d）}{3d-100}$＞0，
∴（d-25）（3d-100）＜0，即25＜d＜$\frac{100}{3}$，
則d可能為26，28，30，32，
當(dāng)d=26時，a₁=$\frac{52}{11}$（舍）；
當(dāng)d=28時，a₁=21，q=$\frac{11}{7}$；
當(dāng)d=30時，a₁=60（舍）；
當(dāng)d=32時，a₁=224（舍）．
∴q的值為$\frac{11}{7}$．
故答案為：$\frac{11}{7}$．

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確設(shè)出數(shù)列是關(guān)建，是中檔題．