Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2$\sqrt{2}$，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$，∠PAB=∠PAD=α．
（1）試在棱PA上確定一個(gè)點(diǎn)E，使得PC∥平面BDE，并求出此時(shí)$\frac{AE}{EP}$的值；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，求證：CD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，相交于O，過(guò)O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，△PAD和△PAB都是等邊三角形，PB=PD，過(guò)A作AF⊥BD，則F為BD的中點(diǎn)，
利用勾股定理可以判斷線線垂直，進(jìn)一步判斷線面垂直．

解答 解：（1）連接AC，BD，相交于O，過(guò)O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE，
此時(shí)AE：EP=AO：OC=AD：BC=$\sqrt{2}$：$2\sqrt{2}$=1：2；

（2）當(dāng)α=60°時(shí)，△PAD和△PAB都是等邊三角形，PB=PD，
過(guò)A作AF⊥BD，則F為BD的中點(diǎn)，

所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=$\frac{1}{2}$BD=1，所以PF²+AF²=PA²，所以PF⊥AF，
所以PF⊥平面ABCD，
所以PF⊥CD，
過(guò)D作DH⊥BC，則DH=AB=$\sqrt{2}$，HC=$\sqrt{2}$，所以CD=2，所以CD²+BD²=BC²，所以CD⊥BD，
BD∩PF=F，
所以CD⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是適當(dāng)作輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解答．