Question

4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對大于1的整數(shù)n，有3ⁿ＞n+3恒成立．

Answer 1

分析 我們要先證明m=1時，（1+x）^m≥1+mx成立，再假設(shè)m=k時，（1+x）^m≥1+mx成立，進而證明出m=k+1時，（1+x）^m≥1+mx也成立，即可得到對于任意正整數(shù)m：當(dāng)x＞-1時，（1+x）^m≥1+mx．

解答 證明：（�。┊�(dāng)n=2時，3²＞2+3原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即3^k＞k+3，
則當(dāng)n=k+1時，3^k+1＞3k+9＞k+4，
所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數(shù)n，不等式都成立．

點評 數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．