Question

18．在平行四邊形ABCD中，AD=a，AB=2a，∠ADC=60°，M，N分別為AB，CD的中點，以MN為折痕把平行四邊形折成三棱柱AMB-DNC的兩個側面，求三棱柱體積的最大值．

Answer 1

分析 由A到DC的距離為折疊后棱柱的高，再由公式$S=\frac{1}{2}absinC$求出底面積的最大值得答案．

解答 解：三棱柱的高是N到底面AMB的距離，等于AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
要使三棱柱體積最大，則底面AMB的面積最大，由于AM=MB=a，
${S}_{△AMB}=\frac{1}{2}{a}^{2}sin∠AMB$，當sin∠AMB=1時，△AMB的面積S最大，等于$\frac{1}{2}{a}^{2}$．
∴三棱柱體積的最大值為$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{3}$．

點評 本題考查了棱柱體積的求法，訓練了利用三角形面積公式$S=\frac{1}{2}absinC$求面積，關鍵是明確棱柱的高為定值，是基礎題．