Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，點(diǎn)D為橢圓C的左頂點(diǎn)，對(duì)于正常數(shù)λ，如果存在過點(diǎn)M（x₀，0）（-2＜x₀＜2）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得S_△AOB=λS_△AOD，則稱點(diǎn)M為橢圓C的“λ分點(diǎn)“．
（1）判斷點(diǎn)M（1，0）是否為橢圓C的“1分點(diǎn)“，并說明理由；
（2）證明：點(diǎn)M（1，0）不是橢圓C的“2分點(diǎn)”；
（3）如果點(diǎn)M為橢圓C的“2分點(diǎn)“，寫出x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)M（1，0）為橢圓C的“1分點(diǎn)“，當(dāng)直線l的斜率不存在，即為x=1．代入橢圓方程，計(jì)算即可判斷；
（2）假設(shè)點(diǎn)M（1，0）是橢圓C的“2分點(diǎn)”，即有S_△AOB=2S_△AOD，設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，計(jì)算即可判斷；
（3）如果點(diǎn)M為橢圓C的“2分點(diǎn)“，即有S_△AOB=2S_△AOD，設(shè)直線l的方程為x=my+x₀，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)M（1，0）為橢圓C的“1分點(diǎn)“，
理由是：當(dāng)直線l的斜率不存在，即為x=1．
將x=1代入橢圓方程得y²=1-$\frac{1}{4}$，
解得y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△AOD=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有S_△AOB=S_△AOD，
則點(diǎn)M（1，0）為橢圓C的“1分點(diǎn)“；
（2）證明：假設(shè)點(diǎn)M（1，0）是橢圓C的“2分點(diǎn)”，
即有S_△AOB=2S_△AOD，
設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程可得，
（4+m²）y²+2my-3=0，
判別式4m²+12（4+m²）＞0，顯然成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
由S_△AOB=2S_△AOD，
即為$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|=2$•\frac{1}{2}$•|OD|•|y₁|，
由|OM|=1，|OD|=2，
化簡(jiǎn)可得y₂=-3y₁（y₂=5y₁舍去），
代入韋達(dá)定理可得，
（$\frac{m}{4+{m}^{2}}$）²=$\frac{1}{4+{m}^{2}}$，
解得m∈∅，
則有點(diǎn)M（1，0）不是橢圓C的“2分點(diǎn)”；
（3）如果點(diǎn)M為橢圓C的“2分點(diǎn)“，
即有S_△AOB=2S_△AOD，
設(shè)直線l的方程為x=my+x₀，代入橢圓方程可得，
（4+m²）y²+2mx₀y+x₀²-4=0，
判別式（2mx₀）²-4（4+m²）（x₀²-4）＞0，
即為m²＞x₀²-4，由-2＜x₀＜2，
△＞0顯然成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
y₁+y₂=-$\frac{2m{x}_{0}}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，
由S_△AOB=2S_△AOD，
即為$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|=2$•\frac{1}{2}$•|OD|•|y₁|，
由|OM|=|x₀|，|OD|=2，
即有y₂=（1-$\frac{4}{|{x}_{0}|}$）y₁，
代入韋達(dá)定理可得，
$\frac{（2-\frac{4}{|{x}_{0}|}）^{2}}{1-\frac{4}{|{x}_{0}|}}$=$\frac{4{m}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
由m²＞0即為（1-$\frac{4}{|{x}_{0}|}$）（x₀²-4）＞0，
由-2＜x₀＜2，可得|x₀|＜2，x₀²＜4，
則有x₀的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．