Question

10．已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，M為線段BC上一點，且$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$（λ，μ∈R），則λμ的最大值為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由題意$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{λ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{5}\overrightarrow{AC}$，根據(jù)共線向量基本定理存在x，使$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$成立，利用向量相等，即可得到關(guān)于λ，μ的等式，求λμ最大值即可

解答 解：由已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，得到AB⊥BC，所以AC=5，
所以$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{λ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{5}\overrightarrow{AC}$，根據(jù)共線向量基本定理存在x，使$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{3}=x}\\{\frac{μ}{5}=1-x}\end{array}\right.$，所以$\frac{λ}{3}+\frac{μ}{5}=1$，所以$\frac{λ}{3}+\frac{μ}{5}≥2\sqrt{\frac{λμ}{15}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{λ}{3}=\frac{μ}{5}$時等號成立，所以λμ≤$\frac{15}{4}$；即λμ的最大值為$\frac{15}{4}$；
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查向量的加法運算，共線向量基本定理，共面向量基本定理，利用基本不等式求乘積的最大值．屬于中檔題．