Question

已知橢圓C：的離心率為，其四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積是，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且.

（I） 求橢圓C的方程；

（II）求線段AB長度的最小值；

（III）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（I）由題意，解得.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                       …

（II）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，其中，

因?yàn)?sub>，所以，即，      

解得，又，

所以

=

=

==，

因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，

故線段AB長度的最小值為.                

（III）直線AB與圓相切.            

證明如下：

設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，，其中.

因?yàn)?sub>，所以，即，解得.    

直線AB的方程為，

即，                          

圓心O到直線AB的距離,                   

由，，

故  ，             

所以 直線AB與圓相切.