Question

16．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線l：x-3y=2上且直線l過(guò)（a₁，0）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n+1=a_n+b_n，且b₁=1，求b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得{S_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而${S}_{n}={3}^{n}-1$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n+1=a_n+b_n，b₁=1，得$_{n+1}-_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}，_{1}=1$，從而得到$_{n}={3}^{n-1}$，由此能求出{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線l：x-3y=2上且直線l過(guò)（a₁，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n+1}-3{S}_{n}=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴S_n+1+1=3（S_n+1），S₁+1=a₁+1=3，
∴{S_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴S_n+1=3ⁿ，∴${S}_{n}={3}^{n}-1$，
∴a₁=S₁=3-1=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1，
n=1時(shí)，上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}$．
（2）∵b_n+1=a_n+b_n，b₁=1，
∴$_{n+1}-_{n}={3}^{n}-{3}^{n-1}，_{1}=1$，
∴$_{n}={3}^{n-1}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和：T_n=3⁰+3+3²+…+3^n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法及等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．