Question

6．已知x，y，z∈R⁺，求證：$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{zx}$+$\frac{z}{xy}$≥$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 運用a²+b²≥2ab，由累加法和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由x²+y²≥2xy，
y²+z²≥2yz，
z²+x²≥2zx，
相加可得，x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x，y，z∈R⁺，
兩邊同除以xyz，可得
$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{zx}$+$\frac{z}{xy}$≥$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$．
（當且僅當x=y=z取得等號）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式和累加法，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．